iOSのアプリではなくブラウザからの印刷ですね。

「印刷」ボタンではあるけど、動作としては直接印刷されるわけではなく、一旦ラベルが表示されてから次のステップ(印刷)に進むという形かと思います。

SafariではなくChromeを使う場合、印刷をクリックすると以下のようにChromeの下段にpdfのダウンロードバーが表示され、印刷をするにはそのpdfを開いてから印刷を選択すると思います。

さてSafariの場合、納品の手順3の「輸送箱ラベルを印刷」では「印刷」ボタンをクリックするとSafariの別タブでラベルが表示され、そに別タブに表示されたものを印刷する形かと思います。

トピ主さんの指摘されているように手順1の「SKUラベルの印刷」では「印刷ボタン」をクリックしても別タブが出ません。

手順3ではできているのですが、念のためにiOSの設定からSafariを選択して「ポップアブロック」をオフにすることもやっておいた方が良いですが。
もしセキュリティソフトを入れていれば、そちらもポップアップを制限しないようにする。また、Chromeの場合同様にダウンロードというステップを踏む場合のことを考えて、Safariのダウンロード先は指定の場所にしておいて、ダウンロードされていても気がつかないことのないようにしておくというのはやっておいた方が良いかもしれません。

ただ、同じSafariでの手順の中で手順3の「輸送箱ラベルの印刷」では別タブが開き、「SKUラベルの印刷」では別タブが開かないのはテクサポさんに確認してもらった方が良いですね。

「輸送箱ラベルの印刷」と「SKUラベルの印刷」の違いは「SKUラベルの印刷」では枚数を入力するステップがあるので、そこでその枚数を生成するところのエラーかなと思いましたが、下の方の「すべて印刷」のボタンでもバーコードを確認するタブは出てこないですね。

私は普段はiOS端末で作業をすることもありませんので一時的な問題かどうかはわかりませんが、端末やブラウザの設定の問題ではなく、amazon側の問題のような気がします。