私の場合を書きますね。
出荷がアマゾンからだけならば商品に貼らなくても大丈夫のようですね。
一般流通ルートだと、レジスター等であれこれ事務処理をしますのでジャンコードとバーコードを印刷したものを貼らないと一般流通段階で撥ねられそうですね。

ブランドが記載されてはいませんが自社オリジナル製品ならば自分で好きな名前を付けてプライベートブランドでブランド名の所に記載すればいいのではないですかね。
被らないブランド名でないとアマゾンから弾かれる可能性はありますね。
面倒だからと言ってノーブランド品として出すのは後々面倒になってしまいますね。